\documentclass[12pt]{annales}
\parskip=3mm
\begin{document}


\begin{flushright}
{\taille{14}\textbf{Session 2003}}
\end{flushright}

\bigskip
\begin{center}
{\taille{16}\textbf{BACCALAUR\'EAT TECHNOLOGIQUE}}

\bigskip
{\taille{16}\textbf{SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES}}

\bigskip

\begin{tabular}{l}
\textbf{Génie Mécanique} \\
~~~~~~~~~\textbf{Option A : Productique Mécanique} \\
~~~~~~~~~\textbf{Option F : Microtechniques} \\[2ex]
\textbf{Génie Énergétique} \\[2ex]
\textbf{Génie Civil} \\
\end{tabular} 

\bigskip
{\taille{16}\textbf{MATH\'EMATIQUES}}

\end{center} 

\textbf{Durée : 4 heures}\hfill
\textbf{Coefficient : 4}


\begin{center}

\rule{35mm}{0.4mm}

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\textbf{\textit{L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.}}

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\rule{35mm}{0.4mm}

\end{center}


\medskip
\textbf{Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.}\\
\textbf{Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.}

\medskip
\textit{\textbf{Dès que le sujet vous est remis assurez vous qu'il est complet, que toutes les pages sont imprimées.}}

\bigskip
\textit{\textbf{Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.}}

\medskip
\textit{\textbf{Ce sujet nécessite deux feuilles de papier millimétré.}}

\newpage

\textbf{Exercice 1} \textit{(4 points)}

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O\,;\,\vec u\,,\,\vec v)$ d'unité graphique 1 cm.

\qst Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation :
\[z^2-6z+34=0.\]

\qst Soient $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $z_A=3+5{\rm i}$, $z_B=3-5{\rm i}$ et $z_C=4{\rm i}$.
\ssq Placer $A$, $B$ et $C$ dans le repère.
\ssq Calculer les modules des nombres complexes $z_A- 3$, $z_B-3$ et $z_C-3$. En
déduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
\ssq Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?

\qst Soit $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $C$ et $E$ le symétrique de $B$ par rapport à $C$.\\
Placer les points $D$ et $E$ dans le repère. Montrer que $ABDE$ est un losange.


\bigskip\bigskip\numqst1
\textbf{Exercice 2} \textit{(5 points)}

\qst Soit (E) l'équation différentielle $y'+2y=0$ où $y$ est une fonction numérique définie et dérivable sur \R.
\ssq Résoudre l'équation (E).
\ssq Déterminer la solution $f$ de (E) telle que $f(0)=1$.

\qstssq Calculer la valeur moyenne de $f$ sur [0 ; 10].
\ssq Déterminer, en fonction de $n$, la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle
[$n$ ; $n+1$].

\qst Soit ($u_n$) la suite définie par $u_n=\dfrac{1}{2}\,(1-{\rm e}^{-2}){\rm e}^{-2n}$ pour tout $n$ entier positif ou nul.
\ssq Calculer la valeur exacte de $u_0$ , $u_1$ et $u_2$.
\ssq Démontrer que la suite ($u_n$) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\ssq Déterminer la valeur exacte de la somme $u_0+u_1+\dots+u_9$.

\newpage\numqst1
\textbf{Problème} \textit{(11 points)}

Soit $f$ la fonction définie sur \R par $f(x)=\dfrac{-3-2x}{\strut {\rm e}^x}$. On appelle (C) la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm.

\medskip
\textbf{Partie A : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$.}

\qstssq Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
\ssq Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\ssq En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe (C). On précisera son équation.

\qst Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.

\qst Étudier le signe de $f '(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$

\qst Résoudre, dans \R, l'équation d'inconnue $x$ : $f(x)=0$. En déduire, en fonction de $x$
réel, le signe de $f(x)$.

\qst Tracer la courbe (C) dans le repère indiqué.

\bigskip
\numqst1

\textbf{Partie B : Détermination d'une primitive et calculs d'aire.}

\qst Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x)=\dfrac{2x+5}{{\rm e}^x}$ est une primitive de $f$ sur \R.

\qstssq Hachurer l'aire du domaine délimité par la courbe (C), l'axe des abscisses et 
les droites d'équation $x=-\dfrac{3}{2}$ et $x = 5$.
\ssq Calculer la valeur, en cm$^2$, de cette aire, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

\qstssq Pour tout $x$ de \R, on pose $g(x)=-f(x)$ et on appelle ($\Gamma$) la courbe représentative de la fonction $g$. Tracer la courbe ($\Gamma$) dans le même repère que la courbe (C).
\ssq Soit $A(\alpha)$ l'aire du domaine compris entre les courbes (C) et ($\Gamma$) et les droites
d'équation $x=-\dfrac{3}{2}$ et $x=\alpha$ (où $\alpha$ est un réel positif donné). Calculer, en cm$^2$
et en fonction de	$\alpha$, la valeur de $A(\alpha)$.
\ssq Calculer la limite de $A(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $+\infty$.

\end{document}